Essa série ainda pode se dizer um esboço, já que ainda há muito o que se discutir, ainda não sei pôr fórmulas em um blog, e o texto está muito difícil de entender para quem conhece pouca matemática avançada. Vou tentar fazer uma versão mais didática.
O passo que vai além dos busy beavers com oráculos é bem problemático. Isso porque, digamos, numa discussão, muitos poderiam argumentar que o tal número não está bem definido.
A sugestão é a seguinte: vamos tomar F(n) o maior número que pode ser determinado por uma fórmula contendo n símbolos. Isso dependeria da teoria, de seu alfabeto. Se o alfabeto é finito, existe um número finito de fórmulas com n símbolos. Mas poderíamos usar infinitoas símbolos pra variáveis sem problemas, porque se trocarmos apropriadamente as variáveis, as fórmulas ficam tecnicamente idênticas, permitindo pegar apenas uma quantidade finita de fórmula. Cada fórmula determina um número natural ou não, descartamos as que não determinam um único número natural, e pegamos dentro os números determinados o que for maior.
Como teoria e alfabeto, tomemos ZFC com o alfabeto que mencionei antes. Com os naturais identificados com os elementos que mencionei antes. Mas isso é suficiente? Primeiro, temos que saber quando uma afirmação determina um único número natural. Pra isso, poderíamos dizer que uma fórmula só determina um número natural quando a teoria pode provar que existe um único número natural com aquela propriedade. Pra ser mais preciso, diremos então que vamos aceitar a fórmula P(x), com uma única variável livre x, quando existir um teorema do tipo (Existe unico x(x é natural e P(x)). Assim, pra cada fórmula desse tipo está determinado um único número, certo? Não exatamente. Como teoria, apenas estamos garantindo que o referido número com aquela propriedade existe e é único. Mas não é suficiente só as fórmulas e as regras de inferência pra determinar que número é esse. A princípio, o que criamos foi só fórmulas. Podíamos então pensar assim: já que só temos fórmulas, então tomemos fórmulas que especifiquem cada número natural (uma fórmula pra 0, outra pra {0}, outra pra {0,{0}}, etc), e dizemos que P(x) está associada ao número associado à formula que se pode provar que {P(x) se e somente se Q(x)), onde Q é uma das fórmulas associadas ao números. Esse passo resolve o problema. Mas não vai muito longe: BB_2 cresce bem mais rápido.
Então temos que ir além de só trabalharmos com fórmulas. Precisamos de modelos. Precisamos de conjuntos onde as relações estão definidas e satisfazem as fórmulas da teoria dos conjuntos. Mas que modelo utilizaríamos. Poderíamos pensar: vamos exigir que P(x) assuma o mesmo valor em todos os modelos. Mas pra isso precisaríamos definir como poderíamos interpretar universalmente o que seria o mesmo elemento em dois modelos diferentes, já que os modelos podem ser totalmente distintos entre si. Se isso for feito, não resolve. Um teorema devido a Gödel nos daria que se todos os modelos o número é o mesmo, então vai dar pra provar isso na teoria. E isso cairia na definição anterior, de fórmulas associadas a números.
Então a situação é a seguinte: precisamos de um modelo específico. Isso não pode ser determinado por uma teoria (de lógica de primeira ordem). Teria que ser concebido intuitivamente. Aí que entra o obscurantismo. Eu vou tentar usar aqui o universo de Von Neumann, mas esse conceito para muitos pode não ser algo absoluto. Normalmente, a maioria das pessoas pensaria nos naturais como um conceito absoluto, mas o universo de Von Neumann geraria mais questionamentos. Apesar de que, eu não acredito na existência completa do universo de Von Neumann (ele tem cara de "o conjunto de todos os conjuntos", e isso pode-se provar que não existem, mas aí os matemáticos "roubam" e chamas isso de classe, proibindo o universo de pertencer a coinjuntos, o que vai contra a minha intuição, onde qualquer coleção deveria também ser elemento de conjuntos comuns), mas seus segmentos inciais certamente existem.
Bom, pra determinar o universo de Von Neumann (que os matemáticos chamam de "V"), começamos com o conjunto vazio, 0. Depois, tomamos V_1=Partes(0), isso é, o conjunto formado pelos subconjuntos de 0. E depois V_2=partes(V_1). E prosseguimos assim até o infinito. Precisamos agora apelar pro conceito absoluto de ordinais (outra coisa controversa), e determinar que para cada ordinal limite a, definimos V_a como a união dos V_b para b menor que a. Assim, tomamos V como a classe (como eu disse, pode-se provar que V não pode ser um conjunto) união de todos os V_b para b variando em todos os ordinais (totalidade em si que também não é conjunto, mas é classe). Mas eu já disse que não concordo com o conceito de "classe", ao menos se tentarmos dar uma noção absoluta de conjunto, de modo que o conceito absolutista de V não existe, mas existem os V_b para ordinais b inferiores. Então eu vou tomar B como o menor ordinal inacessível (o menor ordinal tal que seu cardinal não é união de cardinais menores, e se um cardinal k é menor que ele então partes(k) é menor também). Esse B é tal que V_B é modelo da teoria dos conjuntos. Assim tomemos então esse modelo.
Agora vamos finalmente definir: ZFC(n) é o maior número natural tal que exista uma fórmula F(x) tal que n é o único número natural que satisfaz aquela fórmula, ou seja, tal que F(n) é verdade no modelo V_B e F(x) não é verdade para todos os outros x diferentes de n. Para cada fórmula com essa propriedade, associamos um único número n. A interpretação dos números n é a que foi especificada, assim como o alfabeto da teoria. Vou definir "Zefecegol" como ZFC(número de Graham), e "Zefecegolplex" como ZFC(Zefecegol), usando o modelo V_B. Um problema sério disso tudo é saber se realmente existem ordinais inacessíveis. Sua definição não é construtiva, de modo que pode ser que eles não existam. Mas sem ele, fica difícil construir um modelo de ZFC usando os V_a's. Precisaríamos de um conceito mais fraco e mais restrito de modelo pra ZFC. Mas eu acredito nos inacessíveis, acho natural que exista um modelo mínimo satisfazendo os axiomas da teoria e a interpretação natural desse modelo levaria a crer que ele tem cardinalidade inacessível.
Dá pra ir além disso? Dá sim. Uma forma é inserir um predicado funcional ZFC(n) representando a nossa função, já que essa função é indefinível em ZFC. Assim, se definirmos o predicado como ZFC sendo um único caracter, surge ZFC_1(n). ZFC_a(n), na notação C de Taranovsky, ZFC_a(n)=ZFC_(a(n))(n), a(n) n-ésimo ordinal da sequência que determina a, assim chegando ao monstruoso ZFC_CX(número de Graham). Não vou dar nome a isso por enquanto, se é que essa coisa existe. Poderíamos pensar em aumentar o ordinal de V_a, mas não sei se isso funciona direito. Acho inclusive que usar o modelo V_a para a muito grande poderia não mudar o número em nada. Não ficou claro ainda se aumentar o número de conjuntos existentes nos produz definições mais potentes pra ZFC(n). Assim, dar o próximo salto é preciso muita criatividade. Uma é usar uma notação intuitiva que vá bem além de CX. Acho que dá pra fazer isso com ordinais além do ordinal de Church Kleene (primeiro ordinal não-computável), usando as definições de máquina de Turing. Mas vamos deixar isso pra depois. Agora passamos a pensar em um método mais eficiente. Um é tentar produzir ordinais contáveis gigantescos e sequências fundamentais pra eles. Mas é melhor criar um conceito novo. Uma sugestão é a lógica de segunda ordem. Mas o obscurantismo aumenta ainda mais. É necessário definir uma semântica da lógica de segunda ordem. Se for possível quantificar em relação à fórmulas da teoria, acho que isso pode criar paradoxos. Eu preferiria pensar em novos símbolos, X,Y,Z... para subconjuntos de V_B, e F,G,H para funções de V_B^n->V_B, e relações P,Q,R para relações em V_B^n (subconjuntos de V_B^n). Assim o conceito de conjunto de verdades a respeito de ZFC muda para incluir os conceitos de lógica de segunda ordem. Aí algumas fórmulas vão definir um número único em V_B, aí depois podíamos construir a função ZFC²(n). E podemos então incluir uma fórmula ZFC²(n) aumentando o poder da teoria e definindo ZFC²_1(n). Daí, ZFC²_CX(número de Graham). E depois? Lógica de terceira ordem. Funções de funções de V_B, relações de relações... Não tenho muito ânimo pra definir isso precisamente. Imagino que se possa ir, lógica de vigésima ordem, daí botar lógica de ordem a, para um dado ordinal a... Isso acaba caindo em lógica infinitária. Talvez seja um salto interessante. Mas eu acho que daí a lógica de segunda ordem acaba codificando essas coisas. Teria que se ter muita criatividade e inteligência pra ir a saltos mais largos. Saltar além da lógica de segunda ordem parece provocar paradoxos. Pelo menos nesse caso de definição de número grande. O próprio conceito de lógica infinitária pode ser codificado em lógica de primeira ordem. Desse modo, pode ser não que derivemos uma contradição, mas que acabemos por construir um método que pode facilmente ser codificado em lógica de primeira de outra forma, mas que seja mais eficiente. Assim, fechemos por enquanto o caixão com ZFC²_CX(Graham), com as definições e encerremos nossa jornada rumo ao infinito (ou melhor, rumo a aleph_0, o primeiro cardinal contável). Mais tarde, tentarei fazer uma versão mais didática e detalhada dessa série.
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