Pra deixar as coisas mais claras, vou postar aqui umas definições.
Vamos usar w para o omega minusculo, o primeiro ordinal infinito, e O para Omega maiusculo, o primeiro ordinal não contável.
Meu sistema notacional vai até o Bachmann Howard Ordinal. Os simbolos primitivos são 0,1,w,O,+,^,psi. psi(a) é o menor ordinal que não pode ser representado usando as operações +,^, e os numeros 0,O,1,w. Por exemplo, psi(0)=epsilon_0.
A sequência fundamental a(n) para o ordinal limite a, mantém intactos todos os monômios menos um, o menor. Se o ultimo monômio é b, ele é substituído por b(n).
Cada monômio do tipo w^(a+1) é substituído por n*w^a. w é substituído por n. Para um w^a, com a limite, w^a é substituído por w^(a(n)). Podiamos perguntar como seria O^2, já que não é do tipo w^a, mas podemos reduzir qualquer monômio para o tipo w^a. Por exemplo, O^2=w^(2O) (já que w^O=O). Às vezes, trabalhamos com ordinais não contáveis, por exemplo, 2O. E não existe sequência que converge pra eles. Mas existe uma hipersequência de ordinais contáveis, com domínio em todos os ordinais contáveis, que converge pra 2O. Definimos, assim, por exemplo O(s)=s (só que s pode ser qualquer ordinal). Também separamos o monômio w^a, e se a tiver cofinalidade O, então botamos w^a(s)=w^(a(s)). Já psi(0)(n)=w^w...^w com n w's. psi(a+1)(n)=w^...^w^(psi(a)+1) com n-1 w's. psi(a)(n)=psi(a(n)) para a de cofinalidade w. Considere A de cofinalidade O. Então psi(A)(1)=psi(A(1)), psi(A)(2)=psi(A(psi(A)(1))), psi(A)(3)=psi(A(psi(A)(2))), etc
Já para o Bachman Howard Ordinal, limite de (1) psi(O+1), (2) psi(w^(O+1)), (3) psi(w^w^(O+1)), etc.
É um pouco diferente das sequências fundamentais do artigo da wikipédia "Ordinal Collapsing Functions", e precisei definir isso porque não fica claro se ele começa as sequências fundamentais por um ou zero (isso faz uma enorme diferença no final).
Feito isso, defino meu número Beagagol como sendo 10[Bachman-Howard]100, usando a notação acima. Lembrando que a[b]c=a[b(c)]a para ordinais limites b. Tentar calculá-lo gera sérios problemas, ficamos com uma torre imensa de w's e não fica claro quando começamos a iteração realmente. Lembrando que as funções [a] crescem mais rápido quanto maior o ordinal, e o salto de uma pra outra é realmente bem grande, (veja por exemplo saltar de multiplicação por exponenciação). Mas infelizmente a grandeza desse número é tão estranha que não conseguimos nem dar passos básicos em relação aos cálculos iniciais pra bcalcular o número. Tente, por exemplo, calcular "Beagagol" em casa. Eu normalmento só consigo ir muito adiante pra [w^3], ou forçando um pouco a barra [w^w^w]. Pra ir mais longe, definamos Beagagolplex=10[Bachman-Howard]Beagagol.
Para dar um saltinho a mais, vou mencionar novamente o artigo http://web.mit.edu/dmytro/www/other/OrdinalNotation.htm. Usarei a notação C(a,b,c), que não usa os grandes Omegas, porque essa notação não ficou clara como funciona pra mim. Para cada ordinal a na notação defino a(n) como sendo o maior ordinal menor que a que contém até n iterações 'C'. E defino o CX como o ordinal limite dessa notação, dentre os que são de grau de admissibilidade 0. E CX(n), semelhantemente, é o menor ordinal de amissibilidade 0 na notação C que possui no máximo n iterações 'C'.
Assim defino o "Taranovgol" como 10[CX]100, e o Taranovgolplex como 10[CX]Taranovgol. Espero que o Dmytro Taranovsky, autor do artigo, não me mate por isso.
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