Números Grandes e Maiores Ainda (2)

Números Ordinais

Números Ordinais são um conceito da Teoria dos Conjuntos, que generalizam o processo de contagem. São conjuntos bem ordenados, ou seja, cada subconjunto de ordinais tem um menor elemento. A classe de todos os ordinais é tão grande que não é um conjunto. Para cada conjunto de ordinais, existirá o próximo ordinal, o menor ordinal fora desse conjunto.
Vamos conhecê-los melhor.
Começamos a contagem com 1,2,3... Dado o conjunto dos naturais, teremos um próximo elemento, w. Daí seguimos, w+1,w+2,w+3,..., formando outro conjunto seguido por 2w. Continuamos a contagem, 2w, 3w, 4w, cada um com infinitos números entre um e outro (não como os números reais, cada elemento possui um sucessor imediato, mas pode haver infinitos elementos antes dele), seguindo o conjunto nw devemos ter mais um sucessor, w² (escreveremos w^2). Daí temos, w^2, 2w^2, ... w^3,...,w^4,...,...,w^w.
E não para por aí. Continuamos com w^w+1, w^w+2, w^2w, w^w^w, w^w^w^w,... e ?
Daí temos um problema porque não existe uma operação elementar para usarmos para w.
Daí, usamos epsilon_0, como valor de convergência. Daí continuamos w^epsilon_0, epsilon_0^epsilon_0,....(?)...., epsilon_1. Continuamos e então temos, epsilon_1, epsilon_2, epsilon_3,... epsilon_w. Continuamos, nada impede que tenhamos epsilon_epsilon_0, por exemplo. Continuando, epsilon_epsilon _..._epsilon_0, convergiria para quanto?
Precisamos definir funções novas. Alguém poderia ir em http://en.wikipedia.org/wiki/Large_countable_ordinal, pra ver se consegue notações novas. Criamos a função de Veblem pra isso, w^a seria phi_0(a), epsilon_a seria phi_1(a), phi_n+1(a) o a-ésimo ordinal não representável por phi_n. O ordinal que é maior que todos os phi_n seria phi_w(0), mas podendo colocar qualquer ordinal em phi, chegaríamos em ordinais maiores. O limite de tudo isso é o ordinal Gamma_0. Ir além disso pode ficar muito difícil pra um iniciante, mas fica como exercício pro leitor procurar no google coisas como "Ordinal Collapsing Function", para conhecer ordinais como o ordinal de Bachmann-Howard. Em português se achará zero sobre isso, mas em inglês tem tudo.
Todos os ordinais acima são computáveis e contáveis. Existem uns maiores como o w1CK de Church Kleene, que não é computável, e o w_1, que não é contável (existem coisas beeem maiores que esses). Curiosamente usar ordinais não contáveis é útil pra criar grandes ordinais contáveis computáveis.

Sequência Fundamental

Sem as sequências fundamentais, fica inútil usar ordinais para definir números grandes. Para cada ordinal limite (ordinal que não é sucessor de outro ordinal), devemos determinar uma sequência fundamental que converge pra esse ordinal. Assim, poderíamos para o ordinal a, definirmos a(n). a sequência a(1), a(2), a(3),... terá como sucessor imediato o ordinal a.
Vejamos casos específicos. a sequência para o polinômio ordinal mz*w^z+...+mk*w^k, será mz*w^z+...+(m(k+1))*(w^k+1)+((mk)-1)*w^k+n*w^(k-1). Se ficar difícil de entender, exemplo, a sequência do ordinal w^4+2*w^3 é w^4+w^3+n*w^2. Para termos mais gerais (antes de epsilon_0), fazemos o seguinte: separamos o termo com a menor potência, digamos m*w^a. Se a for um ordinal sucessor, a-1 existe, então a sequência fica (m-1)*w^a+n*w^(a-1), exemplo, 4w^(2w+2) fica 3w^(2w+2)+n*w^(2w+1).
E para além de epsilon_0? Para o próprio epsilon_0 seria 0,1,w,w^w,w^w^w...
Pro resto, fica como exercício para o leitor ver na wikipédia inglês "Veblen function" e "Ordinal Collapsing Function".