Números Grandes e Maiores Ainda (3)

Como usar agora os números ordinais para definir números grandes??
Faremos o seguinte. Usaremos a notação a[b]c, aonde a e c são naturais e b é ordinal.
a[1]b=a+b. a[b+1]c=a[b]a[b]...[b]a com c "a"s. Exemplo 3[4w+2]4=3[4w+1]3[4w+1]3[4w+1]3.
A direção em que opermos é da direita pra esquerda, que é onde vai mais rápido. No caso, temos a[b+1]3=a[b](a[b]a) e a[b+1]4=a[b](a[b](a[b]a)). Quando temos um ordinal limite b, definimos a[b]c como a[b(c)]a. Exemplo: a[2w]3=a[2w(3)]a=a[w+3]a. Usamos assim, a sequência fundamental.
Defino aqui o meu número como sendo 10[Bachman-Howard]100, que eu chamo de "Beagagol". Mais tarde irei defini-lo mais precisamente. Existem ordinais bem maiores, mas há formas de ir mais longe que tudo isso. Veremos isso depois.
Vamos agora verificar a grandeza desses números experimentalmente. Boa parte das pessoas já ouviu falar do Googolplex. Um Googol, é um seguido de cem zeros. Bem maior que o número de átomos do universo. Já um googoloplex é um seguido de um googol de zero, ou seja, 10^googol, 10^(10^100). É maior, por exemplo, que todas as imagens possíveis de serem exibidas por uma tela de computador comum. Dizer "número de átomos do universo" parece ir muito bem, pois pra muitos é grande mesmo. Mas isso é só pra começar. Googolplex não pode ser escrito nem mesmo usando todos os átomos do universo, pois tem um googol de zeros. Na minha notação, googol=10[3]100. E Googolplex=10[3](10[3]100). O número 10[4]4 seria 10[3](10[3](10[3]10)), 10^(10^(10^10)), que é maior que 10^(10^(100))=10^(10^(10^2)), portanto maior que Googolplex. Poucos conhecem o Número de Graham. É conhecido por ser o maior número jamais utilizado em uma prova matemática (o que não é exatamente verdade, há artigos indo bem além dele, como os de Harvey Friedman), mas quase certamente é o maior número que possui um nome minimalmente conhecido (não valendo os blogueiros que definem números maiores ainda ou artigos que sejam extremamente desconhecidos). Bom começamos, usando a minha notação, com 3[6]3=n1. Depois definimos n2=3[n1]3, e assim por diante. O número de Graham é o n64. Ele é menor que 3[w+1]65. Para ver como ele é grande, observe o seguinte. Começamos com a operação [1], correspondente a "+". Depois temos a operação [2] que é "*". Depois temos [3], que é a potência "^". A potência é tão rápida que com três números já definimos googolplex. Repara que o n1 que inicia a sequência é 3[6]3, onde usamos a sexta operação, que inimaginavelmente mais rápida que a função potência. Vamos tentar calcular, 3[5]3. Temos 3[5]3=3[4](3[4]3). E 3[4]3=3[3]3[3]3=3^(3^3)=3^27=7625597484987. Então 3[5]3=3[4]7625597484987= 3[3]3[3]...[3]3=3^3^3...3 com 7625597484987 3s. Ou seja, a notação do 3[5]3 é uma torre de potências com mais de 7 trilhões de 3s empilhados. Se não convenceu de que é grande, uma torre com quatro 10s empilhados é maior que um googolplex. Pra que gosta de conta, uma torre com 5 três já passa de longe o googolplex. Podemos fazer uma sequência. n1=3, n2=3^3=27, n3=3^3^3>7 trilhões, n4=3^3^3^3>googol,... E fechamos com n7625597484987. Bom, esse é o 3[5]3.
Já o primeiro número da sequência de Graham é o 3[6]3, que nada mais é que 3[5]3[5]3=
3[4]3[4]...[4]3 (3[5]3 vezes). Lembrando que a operação [4] é a que vem depois da potência (assim como potência vem depois da multiplicação), ou seja combinação de potências. E é executada 3[5]3 vezes. O n2 da sequência de Graham é o 3[n1]3, ou seja, 3[3[6]3]3, que é 3 operado com 3 na 3[6]3-ésima operação. Vendo a velocidade da 6ª operação, fica como exercício imaginar a velociade desse super-operação.
Bom, aqui vimos números ordinais e não os usamos ainda. Como vimos, o primeiro ordinal infinito é w. Então a[w]b=a[b]a. Exemplo, 3[w]15=3[15]3. Podemos analizar o w+1. 3[w+1]5=3[w]3[w]3[w]3[w]3=3[3[3[3[3]3]3]3]3=3[3[3[27]3]3]3. Lembrando que o cálculo passa pelo grande 3[27]3. O número de Graham é um pouco menor que 3[w+1]65=3[w]3[w]3...[w]3 65 vezes. Já [w+2] é a operação que itera vários [w+1]. Vamos dar um salto e tentar calcular 3[w^2]3. Temos 3[w^2]3=3[3w]3=3[2w+3]3=3[2w+2](3[2w+2]3)=3[2w+1]...[2w+1]3 (3[2w+2]3 vezes). Isso porque nem chegamos em [2w]. Por exemplo, 3[2w]20=3[w+20]3, que é a vigésima operação após a super operação [w].
Terminamos por aqui já que tentar calcular coisas como 3[Gamma_0]3 daria uma imensa dor de cabeça.
Veremos mais tarde, maneiras diferentes de se criar coisas enormes, que colocam números como o "Beagagol" no chinelo.